Pochodne funkcji są fundamentalnym pojęciem w analizie matematycznej i odgrywają kluczową rolę w rozwiązywaniu problemów na maturze rozszerzonej z matematyki. W tym artykule wyjaśnimy, czym są pochodne, jakie mają podstawowe własności oraz jak je obliczać, co pozwoli Ci lepiej przygotować się do egzaminu.

Co to jest pochodna?

Pochodna funkcji w punkcie mierzy, jak szybko zmienia się wartość tej funkcji w tym punkcie. Formalnie, pochodna funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \) jest granicą ilorazu różnicowego, gdy różnica argumentów dąży do zera:

\[
f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) – f(x_0)}{h}
\]

Ten iloraz różnicowy przedstawia przyrost wartości funkcji podzielony przez przyrost argumentu. Intuicyjnie, jest to nachylenie stycznej do wykresu funkcji w punkcie \( x_0 \).

Przykład 1: Pochodna funkcji liniowej

Rozważmy funkcję liniową:

\[ f(x) = 2x + 3 \]

Rozwiązanie:

Ponieważ funkcja liniowa zmienia się w sposób stały, jej pochodna jest równa współczynnikowi przy \( x \):

\[ f'(x) = 2 \]

Pochodna funkcji liniowej to stała równa współczynnikowi przy \( x \), co intuicyjnie zgadza się z nachyleniem linii prostej.

Przykład 2: Pochodna funkcji kwadratowej

Rozważmy funkcję kwadratową:

\[ f(x) = x^2 \]

Rozwiązanie:

Obliczmy jej pochodną stosując definicję:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 – x^2}{h} \]

Rozwijamy i upraszczamy licznik:

\[ (x + h)^2 – x^2 = x^2 + 2xh + h^2 – x^2 = 2xh + h^2 \]

Podzielmy przez \( h \):

\[ \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h \]

W granicy, gdy \( h \to 0 \), wyraz \( h \) zanika:

\[ f'(x) = 2x \]

Zatem pochodna funkcji \( f(x) = x^2 \) wynosi \( 2x \).

Zasady różniczkowania

Obliczanie pochodnych nie zawsze wymaga stosowania definicji. Istnieją zasady różniczkowania, które upraszczają ten proces:

• pochodna sumyJeśli \( f(x) \) i \( g(x) \) są funkcjami, to pochodna ich sumy wynosi:\[ (f(x) + g(x))’ = f'(x) + g'(x) \]
• pochodna iloczynuJeśli \( f(x) \) i \( g(x) \) są funkcjami, to pochodna ich iloczynu wynosi:\[ (f(x) \cdot g(x))’ = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \]
• pochodna ilorazuJeśli \( f(x) \) i \( g(x) \) są funkcjami, to pochodna ich ilorazu wynosi:\[ \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’ = \frac{f'(x) \cdot g(x) – f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2} \]
• pochodna funkcji złożonejJeśli \( f(x) \) i \( g(x) \) są funkcjami, to pochodna funkcji złożonej wynosi:\[ (f(g(x)))’ = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]

Przykład 3: Pochodna iloczynu funkcji

Obliczmy pochodną funkcji:

\[ h(x) = x^2 \sin(x) \]

Rozwiązanie:

Stosując zasadę różniczkowania iloczynu:

\[ h'(x) = (x^2)’ \cdot \sin(x) + x^2 \cdot (\sin(x))’ \]

Obliczamy poszczególne pochodne:

\[ (x^2)’ = 2x \quad \text{i} \quad (\sin(x))’ = \cos(x) \]

Podstawiamy do wzoru:

\[ h'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) \]

Zatem pochodna funkcji \( h(x) = x^2 \sin(x) \) wynosi \( 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) \).

Przykład 4: Pochodna ilorazu funkcji

Obliczmy pochodną funkcji:

\[ f(x) = \frac{x^2}{\sin(x)} \]

Rozwiązanie:

Stosując zasadę różniczkowania ilorazu:

\[ f'(x) = \frac{(x^2)’ \cdot \sin(x) – x^2 \cdot (\sin(x))’}{\sin(x)^2} \]

Obliczamy poszczególne pochodne:

\[ (x^2)’ = 2x \quad \text{i} \quad (\sin(x))’ = \cos(x) \]

Podstawiamy do wzoru:

\[ f'(x) = \frac{2x \sin(x) – x^2 \cos(x)}{\sin(x)^2} \]

Zatem pochodna funkcji \( f(x) = \frac{x^2}{\sin(x)} \) wynosi \( \frac{2x \sin(x) – x^2 \cos(x)}{\sin(x)^2} \).

Przykład 5: Pochodna funkcji złożonej

Obliczmy pochodną funkcji:

\[ g(x) = \sin(x^2) \]

Rozwiązanie:

Stosując zasadę różniczkowania funkcji złożonej:

\[ g'(x) = \cos(x^2) \cdot (x^2)’ \]

Obliczamy poszczególne pochodne:

\[ (x^2)’ = 2x \]

Podstawiamy do wzoru:

\[ g'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2) \]

Zatem pochodna funkcji \( g(x) = \sin(x^2) \) wynosi \( 2x \cos(x^2) \).

Znaczenie pochodnych

Pochodne funkcji mają wiele zastosowań w różnych dziedzinach. Oto kilka przykładów:

• fizyka –pochodna funkcji opisującej położenie obiektu względem czasu daje prędkość, a pochodna prędkości względem czasu daje przyspieszenie.
• ekonomia – pochodna funkcji kosztów może pokazać, jak zmiany w produkcji wpływają na koszty, a pochodna funkcji dochodów może wskazać, jak zmiany cen wpływają na przychody.
• inżynieria – pochodne są używane do optymalizacji procesów, analizowania stabilności systemów i modelowania zjawisk dynamicznych.

Podsumowanie – teoria pochodnych funkcji

Pochodne funkcji są podstawowym narzędziem w analizie matematycznej. Pozwalają one na zrozumienie, jak funkcje zmieniają się w zależności od swoich argumentów i mają szerokie zastosowanie w praktycznych problemach. Zrozumienie podstawowych zasad różniczkowania i umiejętność ich zastosowania jest kluczowe dla sukcesu na maturze rozszerzonej z matematyki.