Liczby rzeczywiste obejmują wszystkie liczby, które można przedstawić na osi liczbowej, w tym zarówno liczby wymierne, jak i niewymierne. W tym artykule omówimy podstawowe pojęcia, własności oraz operacje na liczbach rzeczywistych, które są kluczowe na maturze podstawowej z matematyki.

Podstawowe Pojęcia

Liczby wymierne

Liczby wymierne to liczby, które można przedstawić jako iloraz dwóch liczb całkowitych \( \frac{a}{b} \), gdzie \( b \neq 0 \). Przykłady:

  • 2 (liczba całkowita)
  • \(\frac{3}{4}\) (ułamek)
  • -5 (liczba całkowita)

Liczby niewymierne

Liczby niewymierne to liczby, które nie mogą być zapisane jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Ich rozwinięcia dziesiętne są nieskończone i nieokresowe. Przykłady:

  • \(\sqrt{2}\)
  • \(\pi\)

Operacje na liczbach rzeczywistych

Dodawanie i odejmowanie

Dodawanie i odejmowanie liczb rzeczywistych działa zgodnie z intuicją. Przykłady:

  • 3 + 2.5 = 5.5
  • 7.5 – 4.2 = 3.3

Mnożenie

Mnożenie liczb rzeczywistych również działa zgodnie z podstawowymi zasadami arytmetyki. Przykłady:

  • 4 \times 2.5 = 10
  • -3 \times 1.5 = -4.5

Dzielenie

Dzielenie liczb rzeczywistych jest odwrotnością mnożenia. Przykłady:

  • 6 \div 2 = 3
  • 7.5 \div 1.5 = 5

Własności Pierwiastków

Pierwiastki kwadratowe są istotną częścią liczb rzeczywistych. Ważne własności:

  • \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\)
  • \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
  • (\sqrt{a})^2 = a

Przykład

Oblicz \(\sqrt{50}\):

\[
\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}
\]

Wartości bezwzględne

Wartość bezwzględna liczby \(x\) (oznaczana jako \(|x|\)) to odległość tej liczby od zera na osi liczbowej. Definicja:

\[
|x| =
\begin{cases}
x & \text{dla } x \geq 0 \\
-x & \text{dla } x < 0
\end{cases}
\]

Przykłady

  • |5| = 5
  • |-3| = 3

Procenty składane

Procenty składane to sposób obliczania odsetek, w którym odsetki są dodawane do kapitału i same zaczynają przynosić odsetki. Wzór na procent składany:

\[
A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}
\]

gdzie:

  • A – wartość końcowa
  • P – kapitał początkowy
  • r – stopa procentowa
  • n – liczba okresów w roku
  • t – liczba lat

Przykład

Oblicz wartość kapitału po 3 latach, jeśli początkowa kwota wynosi 1000 zł, stopa procentowa wynosi 5%, a odsetki są kapitalizowane co pół roku.

\[
A = 1000 \left(1 + \frac{0.05}{2}\right)^{2 \cdot 3} = 1000 \left(1 + 0.025\right)^6 = 1000 \cdot 1.159274 = 1159.27 \text{ zł}
\]

Liczby rzeczywiste w teorii – krótkie podsumowanie

Liczby rzeczywiste to podstawowy obszar matematyki obejmujący zarówno liczby wymierne, jak i niewymierne. Opanowanie działań na liczbach rzeczywistych, rozumienie własności pierwiastków i wartości bezwzględnych, a także znajomość procentów składanych jest kluczowe na maturze podstawowej z matematyki. W następnych sekcjach omówimy bardziej zaawansowane zagadnienia i przykłady, które pomogą Ci przygotować się do egzaminu.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Explore More

Pochodne funkcji: przykładowe zadania i rozwiązania – poziom rozszerzony

Symbole matematyczne związane z pochodnymi oraz tło z tablicą i równaniami z rachunku różniczkowego

Rozwiązywanie zadań z pochodnych funkcji jest istotnym elementem matury rozszerzonej z matematyki. W tym artykule przedstawię przykładowe zadania, ich rozwiązania oraz dokładne kroki prowadzące do wyniku. Pochodna funkcji liniowej Znajdź

Równania kwadratowe z pierwiastkami na maturze: zadania, rozwiązania – poziom rozszerzony

Miniatura z dużym symbolem pierwiastka kwadratowego, symbolami matematycznymi i równaniami na tle tablicy

Rozwiązywanie równań kwadratowych z pierwiastkami kwadratowymi to temat, który często pojawia się na maturze rozszerzonej z matematyki. Poniżej przedstawiam przykładowe zadanie wraz z pełnym rozwiązaniem krok po kroku, co może

Wyrażenia algebraiczne: definicja i podstawowe pojęcia – działania na wielomianach – poziom podstawowy

Wyrażenia algebraiczne to jedno z podstawowych zagadnień matematyki na poziomie szkoły średniej, obejmujące m.in. wzory skróconego mnożenia, operacje na wielomianach oraz wyrażenia wymierne. W tym artykule omówimy te tematy, wyjaśniając