Rozwiązywanie równań kwadratowych z pierwiastkami kwadratowymi to temat, który często pojawia się na maturze rozszerzonej z matematyki. Poniżej przedstawiam przykładowe zadanie wraz z pełnym rozwiązaniem krok po kroku, co może być przydatne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu.

Równanie kwadratowe z pierwiastkami

Rozwiąż równanie kwadratowe:

\[ \sqrt{x^2 + 4x + 4} = 2\sqrt{x} + 2 \]

Rozpocznij od upraszczania wyrażenia pod pierwiastkiem

Zauważmy, że x^2 + 4x + 4 można zapisać jako pełny kwadrat:

\[ x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \]

Podstawiając do równania:

\[ \sqrt{(x + 2)^2} = 2\sqrt{x} + 2 \]

Usuń pierwiastek z lewej strony równania

\[|x + 2| = 2\sqrt{x} + 2\]

Rozważ dwa przypadki wynikające z wartości bezwzględnej

Przypadek 1: x + 2 ≥ 0

Wtedy |x + 2| = x + 2, więc:

\[ x + 2 = 2\sqrt{x} + 2 \]

Odejmij 2 od obu stron:

\[ x = 2\sqrt{x} \]

Podnieś obie strony do kwadratu:

\[ x^2 = 4x \]

Przenieś wszystko na jedną stronę równania:

\[ x^2 – 4x = 0 \]

Wyłącz wspólny czynnik:

\[ x(x – 4) = 0 \]

Stąd mamy dwa rozwiązania:
x = 0

x = 4

Sprawdź oba rozwiązania w oryginalnym równaniu:

Dla x = 0:

\[ \sqrt{0^2 + 4 \cdot 0 + 4} = 2\sqrt{0} + 2 \]

\[ \sqrt{4} = 2 \]

\[ 2 = 2 \] – Zgadza się.

Dla x = 4:

\[ \sqrt{4^2 + 4 \cdot 4 + 4} = 2 \cdot 2 + 2 \]

\[ \sqrt{16 + 16 + 4} = 2 \cdot 2 + 2 \]

\[ \sqrt{36} = 4 + 2 \]

\[ 6 = 6 \] – Zgadza się.

Oba rozwiązania są poprawne w przypadku x + 2 ≥ 0.

Przypadek 2: x + 2 < 0

Wtedy |x + 2| = -(x + 2), więc:

\[ -(x + 2) = 2\sqrt{x} + 2 \]

Odejmij 2 od obu stron:

\[ -x – 2 = 2\sqrt{x} + 2 \]

Przenieś wszystkie wyrazy na jedną stronę:

\[ -x – 4 = 2\sqrt{x} \]

Podnieś obie strony do kwadratu:

\[ (-x – 4)^2 = (2\sqrt{x})^2 \]
\[ x^2 + 8x + 16 = 4x \]

Przenieś wszystko na jedną stronę równania:

\[ x^2 + 4x + 16 = 0 \]

Rozwiąż równanie kwadratowe:

\[ \Delta = 4^2 – 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 – 64 = -48 \]

Delta jest ujemna, więc brak rzeczywistych rozwiązań dla tego przypadku.

Podsumowanie – rozwiązania równania kwadratowego z pierwiastkami

Równanie ma dwa rozwiązania:

  • x = 0
  • x = 4

Oba rozwiązania spełniają oryginalne równanie. Równania kwadratowe z pierwiastkami mogą wymagać rozważenia różnych przypadków, ale dokładne śledzenie kroków pozwala znaleźć poprawne rozwiązania.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Explore More

Wyrażenia algebraiczne: definicja i podstawowe pojęcia – działania na wielomianach – poziom podstawowy

Wyrażenia algebraiczne to jedno z podstawowych zagadnień matematyki na poziomie szkoły średniej, obejmujące m.in. wzory skróconego mnożenia, operacje na wielomianach oraz wyrażenia wymierne. W tym artykule omówimy te tematy, wyjaśniając

Liczby rzeczywiste: jakie to? Przykłady i teoria – poziom podstawowy

Liczby rzeczywiste obejmują wszystkie liczby, które można przedstawić na osi liczbowej, w tym zarówno liczby wymierne, jak i niewymierne. W tym artykule omówimy podstawowe pojęcia, własności oraz operacje na liczbach

Pochodne funkcji: przykładowe zadania i rozwiązania – poziom rozszerzony

Symbole matematyczne związane z pochodnymi oraz tło z tablicą i równaniami z rachunku różniczkowego

Rozwiązywanie zadań z pochodnych funkcji jest istotnym elementem matury rozszerzonej z matematyki. W tym artykule przedstawię przykładowe zadania, ich rozwiązania oraz dokładne kroki prowadzące do wyniku. Pochodna funkcji liniowej Znajdź