Rozwiązywanie równań kwadratowych z pierwiastkami kwadratowymi to temat, który często pojawia się na maturze rozszerzonej z matematyki. Poniżej przedstawiam przykładowe zadanie wraz z pełnym rozwiązaniem krok po kroku, co może być przydatne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu.
Równanie kwadratowe z pierwiastkami
Rozwiąż równanie kwadratowe:
\[ \sqrt{x^2 + 4x + 4} = 2\sqrt{x} + 2 \]
Rozpocznij od upraszczania wyrażenia pod pierwiastkiem
Zauważmy, że x^2 + 4x + 4 można zapisać jako pełny kwadrat:
\[ x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \]
Podstawiając do równania:
\[ \sqrt{(x + 2)^2} = 2\sqrt{x} + 2 \]
Usuń pierwiastek z lewej strony równania
\[|x + 2| = 2\sqrt{x} + 2\]
Rozważ dwa przypadki wynikające z wartości bezwzględnej
Przypadek 1: x + 2 ≥ 0
Wtedy |x + 2| = x + 2, więc:
\[ x + 2 = 2\sqrt{x} + 2 \]
Odejmij 2 od obu stron:
\[ x = 2\sqrt{x} \]
Podnieś obie strony do kwadrat:
\[ x^2 = 4x \]
Otrzymujemy:
\[ x^2 – 4x = 0 \]
Wyłącz wspólny czynnik:
\[ x(x – 4) = 0 \]
Stąd mamy dwa rozwiązania:
x = 0
x = 4
Sprawdź oba rozwiązania w oryginalnym równaniu:
Dla x = 0:
\[ \sqrt{0^2 + 4 \cdot 0 + 4} = 2\sqrt{0} + 2 \]
\[ \sqrt{4} = 2 \]
\[ 2 = 2 \] – Zgadza się.
Dla x = 4:
\[ \sqrt{4^2 + 4 \cdot 4 + 4} = 2 \cdot 2 + 2 \]
\[ \sqrt{16 + 16 + 4} = 2 \cdot 2 + 2 \]
\[ \sqrt{36} = 4 + 2 \]
\[ 6 = 6 \] – Zgadza się.
Oba rozwiązania są poprawne w przypadku x + 2 ≥ 0.
Przypadek 2: x + 2 < 0
Wtedy |x + 2| = -(x + 2), więc:
\[ -(x + 2) = 2\sqrt{x} + 2 \]
Odejmij 2 od obu stron:
\[ -x – 2 = 2\sqrt{x} + 2 \]
Otrzymujemy
\[ -x – 4 = 2\sqrt{x} \]
Podnieś obie strony do kwadratu:
\[ (-x – 4)^2 = (2\sqrt{x})^2 \]
\[ x^2 + 8x + 16 = 4x \]
Przenieś wszystko na jedną stronę równania:
\[ x^2 + 4x + 16 = 0 \]
Obliczam deltę:
\[ \Delta = 4^2 – 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 – 64 = -48 \]
Delta jest ujemna, więc brak rzeczywistych rozwiązań dla tego przypadku.
Podsumowanie – rozwiązania równania kwadratowego z pierwiastkami
Równanie ma dwa rozwiązania:
- x = 0
- x = 4
Oba rozwiązania spełniają oryginalne równanie. Równania kwadratowe z pierwiastkami mogą wymagać rozważenia różnych przypadków, ale dokładne śledzenie kroków pozwala znaleźć poprawne rozwiązania.