Rozwiązywanie zadań z pochodnych funkcji jest istotnym elementem matury rozszerzonej z matematyki. W tym artykule przedstawię przykładowe zadania, ich rozwiązania oraz dokładne kroki prowadzące do wyniku.

Pochodna funkcji liniowej

Znajdź pochodną funkcji:

\[ f(x) = 3x + 5 \]

Rozwiązanie:

Pochodna funkcji liniowej \( f(x) = ax + b \) wynosi \( a \).

f'(x) = 3

Pochodna funkcji kwadratowej

Znajdź pochodną funkcji:

\[ g(x) = 2x^2 + 3x + 1 \]

Rozwiązanie:

Pochodna funkcji kwadratowej \( g(x) = ax^2 + bx + c \) wynosi \( g'(x) = 2ax + b \).

g'(x) = 4x + 3

Pochodna funkcji sześciennej

Znajdź pochodną funkcji:

\[ h(x) = x^3 – 4x^2 + x – 6 \]

Rozwiązanie:

Pochodna funkcji sześciennej \( h(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) wynosi \( h'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \).

h'(x) = 3x^2 – 8x + 1

Pochodna funkcji wykładniczej

Znajdź pochodną funkcji:

\[ f(x) = e^x \]

Rozwiązanie:

Pochodna funkcji wykładniczej \( f(x) = e^x \) wynosi \( f'(x) = e^x \).

f'(x) = e^x

Pochodna funkcji trygonometrycznej

Znajdź pochodną funkcji:

\[ g(x) = \sin(x) \]

Rozwiązanie:

Pochodna funkcji sinus \( g(x) = \sin(x) \) wynosi \( g'(x) = \cos(x) \).

g'(x) = \cos(x)

Pochodna iloczynu funkcji

Znajdź pochodną funkcji:

\[ h(x) = x^2 \sin(x) \]

Rozwiązanie:

Pochodną iloczynu dwóch funkcji \( h(x) = u(x) \cdot v(x) \) można znaleźć za pomocą wzoru na pochodną iloczynu:

\[ h'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \]

Dla \( u(x) = x^2 \) i \( v(x) = \sin(x) \):

\[ u'(x) = 2x \quad \text{oraz} \quad v'(x) = \cos(x) \]

Zatem:

h'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x)

Pochodna ilorazu funkcji

Znajdź pochodną funkcji:

\[ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x} \]

Rozwiązanie:

Pochodną ilorazu dwóch funkcji \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \) można znaleźć za pomocą wzoru na pochodną ilorazu:

\[ f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) – u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2} \]

Dla \( u(x) = x^2 + 1 \) i \( v(x) = x \):

\[ u'(x) = 2x \quad \text{oraz} \quad v'(x) = 1 \]

Zatem:

\[ f'(x) = \frac{2x \cdot x – (x^2 + 1) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2 – x^2 – 1}{x^2} = \frac{x^2 – 1}{x^2} = 1 – \frac{1}{x^2} \]

f'(x) = 1 – \frac{1}{x^2}

Pochodna funkcji złożonej

Znajdź pochodną funkcji:

\[ g(x) = \sin(x^2) \]

Rozwiązanie:

Pochodną funkcji złożonej \( g(x) = f(u(x)) \) można znaleźć za pomocą wzoru na pochodną funkcji złożonej:

\[ g'(x) = f'(u(x)) \cdot u'(x) \]

Dla \( f(u) = \sin(u) \) i \( u(x) = x^2 \):

\[ f'(u) = \cos(u) \quad \text{oraz} \quad u'(x) = 2x \]

Zatem:

g'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2)

Pochodna funkcji logarytmicznej

Znajdź pochodną funkcji:

\[ h(x) = \ln(x^2 + 1) \]

Rozwiązanie:

Pochodną funkcji logarytmicznej \( h(x) = \ln(u(x)) \) można znaleźć za pomocą wzoru:

\[ h'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} \]

Dla \( u(x) = x^2 + 1 \):

\[ u'(x) = 2x \]

Zatem:

\[h'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\]

Podsumowanie – zadania z pochodnych funkcji

Rozwiązywanie zadań z pochodnych funkcji obejmuje różnorodne typy funkcji, w tym liniowe, kwadratowe, sześcienne, wykładnicze, trygonometryczne, iloczyny, ilorazy oraz funkcje złożone i logarytmiczne. Każdy typ funkcji wymaga zastosowania odpowiedniego wzoru na pochodną, co pozwala na dokładne obliczenie wartości pochodnej.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Explore More

Równania kwadratowe z pierwiastkami na maturze: zadania, rozwiązania – poziom rozszerzony

Miniatura z dużym symbolem pierwiastka kwadratowego, symbolami matematycznymi i równaniami na tle tablicy

Rozwiązywanie równań kwadratowych z pierwiastkami kwadratowymi to temat, który często pojawia się na maturze rozszerzonej z matematyki. Poniżej przedstawiam przykładowe zadanie wraz z pełnym rozwiązaniem krok po kroku, co może

Pochodne funkcji: jak je obliczać i jakie mają zastosowanie? Wzór na pochodną – poziom rozszerzony

Pochodne funkcji są fundamentalnym pojęciem w analizie matematycznej i odgrywają kluczową rolę w rozwiązywaniu problemów na maturze rozszerzonej z matematyki. W tym artykule wyjaśnimy, czym są pochodne, jakie mają podstawowe

Liczby rzeczywiste: jakie to? Przykłady i teoria – poziom podstawowy

Liczby rzeczywiste obejmują wszystkie liczby, które można przedstawić na osi liczbowej, w tym zarówno liczby wymierne, jak i niewymierne. W tym artykule omówimy podstawowe pojęcia, własności oraz operacje na liczbach