Rozwiązywanie zadań z pochodnych funkcji jest istotnym elementem matury rozszerzonej z matematyki. W tym artykule przedstawię przykładowe zadania, ich rozwiązania oraz dokładne kroki prowadzące do wyniku.
Pochodna funkcji liniowej
Znajdź pochodną funkcji:
\[ f(x) = 3x + 5 \]
Rozwiązanie:
Pochodna funkcji liniowej \( f(x) = ax + b \) wynosi \( a \).
f'(x) = 3
Pochodna funkcji kwadratowej
Znajdź pochodną funkcji:
\[ g(x) = 2x^2 + 3x + 1 \]
Rozwiązanie:
Pochodna funkcji kwadratowej \( g(x) = ax^2 + bx + c \) wynosi \( g'(x) = 2ax + b \).
g'(x) = 4x + 3
Pochodna funkcji sześciennej
Znajdź pochodną funkcji:
\[ h(x) = x^3 – 4x^2 + x – 6 \]
Rozwiązanie:
Pochodna funkcji sześciennej \( h(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) wynosi \( h'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \).
h'(x) = 3x^2 – 8x + 1
Pochodna funkcji wykładniczej
Znajdź pochodną funkcji:
\[ f(x) = e^x \]
Rozwiązanie:
Pochodna funkcji wykładniczej \( f(x) = e^x \) wynosi \( f'(x) = e^x \).
f'(x) = e^x
Pochodna funkcji trygonometrycznej
Znajdź pochodną funkcji:
\[ g(x) = \sin(x) \]
Rozwiązanie:
Pochodna funkcji sinus \( g(x) = \sin(x) \) wynosi \( g'(x) = \cos(x) \).
g'(x) = \cos(x)
Pochodna iloczynu funkcji
Znajdź pochodną funkcji:
\[ h(x) = x^2 \sin(x) \]
Rozwiązanie:
Pochodną iloczynu dwóch funkcji \( h(x) = u(x) \cdot v(x) \) można znaleźć za pomocą wzoru na pochodną iloczynu:
\[ h'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \]
Dla \( u(x) = x^2 \) i \( v(x) = \sin(x) \):
\[ u'(x) = 2x \quad \text{oraz} \quad v'(x) = \cos(x) \]
Zatem:
h'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x)
Pochodna ilorazu funkcji
Znajdź pochodną funkcji:
\[ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x} \]
Rozwiązanie:
Pochodną ilorazu dwóch funkcji \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \) można znaleźć za pomocą wzoru na pochodną ilorazu:
\[ f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) – u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2} \]
Dla \( u(x) = x^2 + 1 \) i \( v(x) = x \):
\[ u'(x) = 2x \quad \text{oraz} \quad v'(x) = 1 \]
Zatem:
\[ f'(x) = \frac{2x \cdot x – (x^2 + 1) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2 – x^2 – 1}{x^2} = \frac{x^2 – 1}{x^2} = 1 – \frac{1}{x^2} \]
f'(x) = 1 – \frac{1}{x^2}
Pochodna funkcji złożonej
Znajdź pochodną funkcji:
\[ g(x) = \sin(x^2) \]
Rozwiązanie:
Pochodną funkcji złożonej \( g(x) = f(u(x)) \) można znaleźć za pomocą wzoru na pochodną funkcji złożonej:
\[ g'(x) = f'(u(x)) \cdot u'(x) \]
Dla \( f(u) = \sin(u) \) i \( u(x) = x^2 \):
\[ f'(u) = \cos(u) \quad \text{oraz} \quad u'(x) = 2x \]
Zatem:
g'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2)
Pochodna funkcji logarytmicznej
Znajdź pochodną funkcji:
\[ h(x) = \ln(x^2 + 1) \]
Rozwiązanie:
Pochodną funkcji logarytmicznej \( h(x) = \ln(u(x)) \) można znaleźć za pomocą wzoru:
\[ h'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} \]
Dla \( u(x) = x^2 + 1 \):
\[ u'(x) = 2x \]
Zatem:
\[h'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\]
Podsumowanie – zadania z pochodnych funkcji
Rozwiązywanie zadań z pochodnych funkcji obejmuje różnorodne typy funkcji, w tym liniowe, kwadratowe, sześcienne, wykładnicze, trygonometryczne, iloczyny, ilorazy oraz funkcje złożone i logarytmiczne. Każdy typ funkcji wymaga zastosowania odpowiedniego wzoru na pochodną, co pozwala na dokładne obliczenie wartości pochodnej.
