Wielomiany wyższych stopni potrafią wyglądać groźnie, ale na maturze rozszerzonej sprowadzają się zawsze do tych samych dwóch umiejętności: dzielenia wielomianu przez dwumian oraz rozkładania na czynniki. W tym artykule pokazujemy obie metody na konkretnych przykładach.
Dlaczego dzielenie wielomianów jest ważne na maturze?
Dzielenie wielomianów pojawia się zwykle jako krok pomocniczy w większym zadaniu – na przykład gdy znasz jeden pierwiastek równania i musisz znaleźć pozostałe, albo gdy upraszczasz funkcję wymierną. Rzadko jest celem samym w sobie, ale bez tej umiejętności wiele zadań z parametrem czy z równaniami wyższych stopni staje się nierozwiązywalnych w rozsądnym czasie.Dwie metody dzielenia – którą wybrać?
Na maturze rozszerzonej dopuszczalne są dwie metody: dzielenie pisemne (analogiczne do dzielenia liczb) oraz schemat Hornera, szybszy, ale działający tylko przy dzieleniu przez dwumian \( (x – a) \). W tym artykule skupiamy się na dzieleniu pisemnym, bo działa uniwersalnie i jest wymagany do zrozumienia, jak Horner w ogóle działa.Dzielenie pisemne wielomianu przez dwumian
Zadanie 1: Dzielenie wielomianu przez dwumian
Wykonaj dzielenie \( W(x) = x^3 – 2x^2 – 5x + 6 \) przez dwumian \( (x – 1) \).
Pokaż rozwiązanie
Dzielimy najwyższy składnik dzielnej przez najwyższy składnik dzielnika:
\[ x^3 : x = x^2 \]
Mnożymy \( x^2 \cdot (x-1) = x^3 – x^2 \) i odejmujemy od \( W(x) \):
\[ (x^3 – 2x^2 – 5x + 6) – (x^3 – x^2) = -x^2 – 5x + 6 \]
Powtarzamy krok: \( -x^2 : x = -x \), mnożymy \( -x(x-1) = -x^2 + x \), odejmujemy:
\[ (-x^2 – 5x + 6) – (-x^2 + x) = -6x + 6 \]
Ostatni krok: \( -6x : x = -6 \), mnożymy \( -6(x-1) = -6x + 6 \), odejmujemy i otrzymujemy resztę \( 0 \).
Odpowiedź: \( W(x) = (x-1)(x^2 – x – 6) \), a reszta z dzielenia wynosi \( 0 \).
Co oznacza reszta równa zero?
Jeśli reszta z dzielenia \( W(x) \) przez \( (x-a) \) wynosi zero, to \( a \) jest pierwiastkiem wielomianu \( W(x) \). To bezpośrednia konsekwencja twierdzenia Bézouta i jeden z najważniejszych faktów wykorzystywanych przy rozkładaniu wielomianów wyższych stopni — w praktyce zastępuje on tutaj wyróżnik delta, który znasz z równań kwadratowych z pierwiastkami.Rozkładanie wielomianu na czynniki
Mając już iloraz \( x^2 – x – 6 \) z poprzedniego zadania, możemy go dalej rozłożyć – w tym przypadku to zwykły trójmian kwadratowy, który rozkładamy znajdując jego pierwiastki.Zadanie 2: Pełny rozkład na czynniki
Rozłóż wielomian \( W(x) = x^3 – 2x^2 – 5x + 6 \) na czynniki liniowe.
Pokaż rozwiązanie
Z poprzedniego zadania wiemy, że \( W(x) = (x-1)(x^2 – x – 6) \). Rozkładamy trójmian \( x^2 – x – 6 \), licząc wyróżnik:
\[ \Delta = (-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]
Pierwiastki trójmianu:
\[ x_1 = \frac{1 – 5}{2} = -2, \qquad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3 \]
Zatem \( x^2 – x – 6 = (x+2)(x-3) \).
Odpowiedź: \( W(x) = (x-1)(x+2)(x-3) \).
Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu
Zanim zaczniesz dzielić wielomian na ślepo, warto sprawdzić, czy ma on pierwiastki całkowite – znacznie ułatwia to wybór dwumianu, przez który dzielimy. Twierdzenie mówi, że jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek całkowity, to musi on być dzielnikiem wyrazu wolnego.Jak stosować to twierdzenie w praktyce?
Dla wielomianu \( W(x) = x^3 – 2x^2 – 5x + 6 \) z poprzednich zadań wyraz wolny to \( 6 \), więc potencjalne pierwiastki całkowite to dzielniki liczby \( 6 \): \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \). Sprawdzając \( W(1) = 1 – 2 – 5 + 6 = 0 \), od razu znajdujemy pierwiastek bez zgadywania.| Wartość \( x \) | \( W(x) = x^3-2x^2-5x+6 \) | Czy pierwiastek? |
|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 0 \) | tak |
| \( -1 \) | \( 8 \) | nie |
| \( 2 \) | \( -4 \) | nie |
Rozkład z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia
Nie każdy wielomian wymaga dzielenia – czasem szybciej jest rozpoznać wzór skróconego mnożenia niż szukać pierwiastków całkowitych.Zadanie 3: Rozkład bez dzielenia
Rozłóż na czynniki wielomian \( W(x) = x^3 – 8 \).
Pokaż rozwiązanie
Rozpoznajemy różnicę sześciu sześciennych \( a^3 – b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \), gdzie \( a = x \), \( b = 2 \):
\[ x^3 – 8 = (x – 2)(x^2 + 2x + 4) \]
Trójmian \( x^2 + 2x + 4 \) ma wyróżnik \( \Delta = 4 – 16 = -12 < 0 \), więc nie ma już dalszych pierwiastków rzeczywistych.
Odpowiedź: \( W(x) = (x-2)(x^2+2x+4) \) i to jest pełny rozkład w liczbach rzeczywistych.
Które wzory skróconego mnożenia warto znać dla wielomianów?
Najczęściej wykorzystywane są suma i różnica sześcianów oraz wzory na kwadrat i sześcian sumy.- Różnica sześcianów: \( a^3 – b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \),
- suma sześcianów: \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \),
- wyłączanie wspólnego czynnika przed grupowaniem, gdy wielomian ma cztery składniki.
Krótka checklist przed rozkładem wielomianu
- Sprawdź, czy widzisz znany wzór skróconego mnożenia.
- Jeśli nie, sprawdź dzielniki wyrazu wolnego pod kątem pierwiastków całkowitych.
- Wykonaj dzielenie pisemne przez znaleziony dwumian i powtórz procedurę dla ilorazu.
Zobacz też: Wyrażenia algebraiczne – definicja i wzory skróconego mnożenia