Rozwiązywanie równań kwadratowych z pierwiastkami kwadratowymi to temat, który często pojawia się na maturze rozszerzonej z matematyki. Poniżej przedstawiam przykładowe zadanie wraz z pełnym rozwiązaniem krok po kroku, co może być przydatne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu.
Równanie kwadratowe z pierwiastkami
Rozwiąż równanie kwadratowe: \[ \sqrt{x^2 + 4x + 4} = 2\sqrt{x} + 2 \]Rozpocznij od upraszczania wyrażenia pod pierwiastkiem
Zauważmy, że x^2 + 4x + 4 można zapisać jako pełny kwadrat: \[ x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \] Podstawiając do równania: \[ \sqrt{(x + 2)^2} = 2\sqrt{x} + 2 \]Usuń pierwiastek z lewej strony równania
\[|x + 2| = 2\sqrt{x} + 2\]Rozważ dwa przypadki wynikające z wartości bezwzględnej
Przypadek 1: x + 2 ≥ 0 Wtedy |x + 2| = x + 2, więc: \[ x + 2 = 2\sqrt{x} + 2 \] Odejmij 2 od obu stron: \[ x = 2\sqrt{x} \] Podnieś obie strony do kwadrat: \[ x^2 = 4x \] Otrzymujemy: \[ x^2 – 4x = 0 \] Wyłącz wspólny czynnik: \[ x(x – 4) = 0 \] Stąd mamy dwa rozwiązania: x = 0 x = 4 Sprawdź oba rozwiązania w oryginalnym równaniu: Dla x = 0: \[ \sqrt{0^2 + 4 \cdot 0 + 4} = 2\sqrt{0} + 2 \] \[ \sqrt{4} = 2 \] \[ 2 = 2 \] – Zgadza się. Dla x = 4: \[ \sqrt{4^2 + 4 \cdot 4 + 4} = 2 \cdot 2 + 2 \] \[ \sqrt{16 + 16 + 4} = 2 \cdot 2 + 2 \] \[ \sqrt{36} = 4 + 2 \] \[ 6 = 6 \] – Zgadza się. Oba rozwiązania są poprawne w przypadku x + 2 ≥ 0. Przypadek 2: x + 2 < 0 Wtedy |x + 2| = -(x + 2), więc: \[ -(x + 2) = 2\sqrt{x} + 2 \] Odejmij 2 od obu stron: \[ -x – 2 = 2\sqrt{x} + 2 \] Otrzymujemy \[ -x – 4 = 2\sqrt{x} \] Podnieś obie strony do kwadratu: \[ (-x – 4)^2 = (2\sqrt{x})^2 \] \[ x^2 + 8x + 16 = 4x \] Przenieś wszystko na jedną stronę równania: \[ x^2 + 4x + 16 = 0 \] Obliczam deltę: \[ \Delta = 4^2 – 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 – 64 = -48 \] Delta jest ujemna, więc brak rzeczywistych rozwiązań dla tego przypadku.Podsumowanie – rozwiązania równania kwadratowego z pierwiastkami
Równanie ma dwa rozwiązania:- x = 0
- x = 4