Stereometria, czyli geometria przestrzenna, na poziomie podstawowym ogranicza się głównie do dwóch rodzajów brył: graniastosłupów i ostrosłupów. Obie mają bardzo podobną strukturę wzorów – różnica polega głównie na tym, czy liczysz objętość z pełną wysokością, czy z jedną trzecią.
Graniastosłup – podstawowe pojęcia
Graniastosłup to bryła, która ma dwie podstawy będące przystającymi wielokątami, połączone ścianami bocznymi w kształcie prostokątów (graniastosłup prosty) lub równoległoboków (graniastosłup skośny). Na maturze podstawowej pracujemy praktycznie wyłącznie z graniastosłupami prostymi.Wzór na objętość i pole powierzchni graniastosłupa
Objętość każdego graniastosłupa, niezależnie od kształtu podstawy, liczymy tym samym wzorem: \[ V = P_p \cdot H \] gdzie \( P_p \) to pole podstawy, a \( H \) to wysokość graniastosłupa. Pole powierzchni całkowitej to suma pól dwóch podstaw i pola powierzchni bocznej: \[ P_c = 2 P_p + P_b \]Zadanie 1: Objętość prostopadłościanu
Prostopadłościan ma wymiary podstawy \( 4 \times 5 \) i wysokość \( 6 \). Oblicz jego objętość i pole powierzchni całkowitej.
Pokaż rozwiązanie
Pole podstawy to \( P_p = 4 \cdot 5 = 20 \). Objętość:
\[ V = P_p \cdot H = 20 \cdot 6 = 120 \]
Pole powierzchni bocznej to suma czterech prostokątów (obwód podstawy razy wysokość):
\[ P_b = 2(4+5) \cdot 6 = 18 \cdot 6 = 108 \]
Pole powierzchni całkowitej:
\[ P_c = 2 \cdot 20 + 108 = 148 \]
Odpowiedź: \( V = 120 \), \( P_c = 148 \).
Graniastosłup prawidłowy – co to znaczy?
Graniastosłup nazywamy prawidłowym, gdy jego podstawą jest wielokąt foremny (np. kwadrat, trójkąt równoboczny, sześciokąt foremny), a ściany boczne są prostokątami. To rozróżnienie jest ważne, bo w zadaniach z graniastosłupem prawidłowym pole podstawy liczy się ze specjalnych wzorów na wielokąty foremne, podobnych do tych z geometrii analitycznej.Rodzaje podstaw, które najczęściej pojawiają się na maturze
- Kwadrat — podstawa graniastosłupa prawidłowego czworokątnego,
- trójkąt równoboczny — podstawa graniastosłupa prawidłowego trójkątnego,
- sześciokąt foremny — rzadziej, ale również pojawia się w zadaniach maturalnych.
Ostrosłup – podstawowe pojęcia
Ostrosłup to bryła z jedną podstawą będącą wielokątem oraz ścianami bocznymi w kształcie trójkątów, które zbiegają się w jednym punkcie zwanym wierzchołkiem. W przeciwieństwie do graniastosłupa, ostrosłup ma tylko jedną podstawę.Wzór na objętość ostrosłupa
Objętość ostrosłupa liczymy wzorem analogicznym do graniastosłupa, ale z dodatkowym czynnikiem \( \frac{1}{3} \): \[ V = \frac{1}{3} P_p \cdot H \] Ten czynnik \( \frac{1}{3} \) jest najczęściej zapominanym elementem wzoru – warto o nim pamiętać szczególnie wtedy, gdy zadanie wygląda na bardzo podobne do graniastosłupa.Zadanie 2: Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma podstawę o boku \( 6 \) i wysokość \( 8 \). Oblicz jego objętość.
Pokaż rozwiązanie
Podstawą jest kwadrat o boku \( 6 \), więc pole podstawy:
\[ P_p = 6^2 = 36 \]
Objętość ostrosłupa:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 8 = \frac{288}{3} = 96 \]
Odpowiedź: objętość ostrosłupa wynosi \( 96 \).
Wysokość ściany bocznej a wysokość ostrosłupa
Najczęstszym źródłem błędów w zadaniach z ostrosłupami jest pomylenie wysokości ostrosłupa z wysokością ściany bocznej (zwaną też apothemą). Wysokość ostrosłupa to odcinek prostopadły od wierzchołka do podstawy, a wysokość ściany bocznej leży w samej ścianie trójkątnej i jest od niej zawsze dłuższa.Zadanie 3: Wysokość ściany bocznej z twierdzenia Pitagorasa
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym z zadania 2 oblicz wysokość ściany bocznej.
Pokaż rozwiązanie
Wysokość ściany bocznej \( h_b \) tworzy z wysokością ostrosłupa \( H \) i połową boku podstawy trójkąt prostokątny. Połowa boku podstawy wynosi \( 3 \), wysokość \( H = 8 \):
\[ h_b = \sqrt{H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64+9} = \sqrt{73} \]
Odpowiedź: wysokość ściany bocznej wynosi \( \sqrt{73} \approx 8{,}54 \).
Porównanie wzorów dla graniastosłupa i ostrosłupa
| Bryła | Liczba podstaw | Wzór na objętość |
|---|---|---|
| Graniastosłup | 2 | \( V = P_p \cdot H \) |
| Ostrosłup | 1 | \( V = \frac{1}{3} P_p \cdot H \) |
Zobacz też: Planimetria na maturze – teoria, podstawowe pojęcia i twierdzenia
Jak rysować przekroje i przekątne brył?
Wiele zadań ze stereometrii wymaga narysowania przekątnej bryły lub przekroju przechodzącego przez konkretne punkty. Pomocne jest zawsze rysowanie bryły w widoku „od przodu” oraz oznaczanie trójkątów prostokątnych, które kryją się wewnątrz figury — to one prawie zawsze prowadzą do rozwiązania za pomocą twierdzenia Pitagorasa.Trzy kroki przy rysowaniu przekroju bryły
- Zaznacz punkty, przez które przechodzi przekrój, na rysunku bryły.
- Połącz je liniami, sprawdzając, które ściany bryły przecina przekrój.
- Wyodrębnij trójkąty prostokątne potrzebne do obliczenia szukanej wielkości.