Geometria analityczna to fascynująca dziedzina matematyki, która łączy metody algebraiczne z geometrycznymi. W poniższym artykule przedstawiamy zaawansowane zadanie maturalne, gdzie zastosujemy wiedzę z rachunku algebraicznego do rozwiązania problemu geometrycznego. Pokazujemy, jak systematyczne podejście pozwala rozwiązać nawet skomplikowane zadania.
Geometria analityczna – treść zadania maturalnego – poziom rozszerzony
Dana jest parabola o równaniu y = x² – 4x + 3 oraz punkt A(1,0). Należy znaleźć współrzędne punktów przecięcia okręgu o środku w punkcie A i promieniu 2 jednostki z tą parabolą. Jest to przykład zadania, które łączy w sobie wiedzę z różnych działów matematyki wyższej.
Przygotowanie do rozwiązania
Przed rozpoczęciem rozwiązywania zadania musimy zrozumieć, że będziemy operować na dwóch równaniach. Jedno z nich opisuje parabolę, a drugie okrąg. Warto zauważyć, że parabola ma ramiona skierowane do góry, ponieważ współczynnik przy x² jest dodatni. To pomoże nam później w interpretacji geometrycznej rozwiązania.
Analiza własności paraboli
Parabola y = x² – 4x + 3 ma następujące właściwości:
- wierzchołek paraboli – znajduje się w punkcie (2,1),
- przecięcie z osią OY – w punkcie (0,3),
- ramiona skierowane – do góry ze względu na dodatni współczynnik kierunkowy.
Zapisanie równania okręgu
Wykorzystując wzór na równanie okręgu, możemy zapisać, że okrąg o środku w punkcie (1,0) i promieniu 2 ma postać: (x-1)² + y² = 4. Ten zapis wynika bezpośrednio ze wzoru na odległość punktu od środka okręgu. Każdy punkt leżący na okręgu jest oddalony od środka o dokładnie 2 jednostki.
Etapy przekształceń algebraicznych
Proces rozwiązania wymaga kilku kluczowych kroków:
- podstawienie równania paraboli – zastępujemy y wyrażeniem x² – 4x + 3,
- uporządkowanie wyrazów – grupujemy składniki według potęg x,
- redukcja wyrazów podobnych – upraszczamy otrzymane wyrażenie algebraiczne.
Rozwiązanie równania
Po wykonaniu przekształceń otrzymujemy równanie czwartego stopnia:
\[x^4 – 8x^3 + 25x^2 – 34x + 13 = 0\]
To równanie wymaga szczególnej metody rozwiązywania, ponieważ jest stopnia czwartego.
Metoda rozkładu na czynniki
Kluczowym krokiem jest dostrzeżenie, że nasze równanie można rozłożyć na iloczyn dwóch równań kwadratowych:
\[(x^2 – 4x + 1)(x^2 – 4x + 13) = 0\]
Zastosowanie wzorów Viète’a pomaga nam zweryfikować poprawność rozkładu.
Rozwiązanie pierwszego równania
Z pierwszego równania kwadratowego x² – 4x + 1 = 0 otrzymujemy dwa rozwiązania:
\[x_1 = 2 + \sqrt{3}\]
\[x_2 = 2 – \sqrt{3}\]
Obliczanie współrzędnych y
Podstawiając otrzymane wartości x do równania paraboli, otrzymujemy odpowiadające im wartości y:
- dla pierwszego punktu – po podstawieniu x₁ otrzymujemy y₁ = √3,
- dla drugiego punktu – analogicznie dla x₂ otrzymujemy y₂ = -√3.
Geometria analityczna na płaszczyźnie – podsumowanie rozwiązania
W wyniku przeprowadzonych obliczeń otrzymaliśmy dwa punkty przecięcia: P₁(2 + √3, √3) oraz P₂(2 – √3, -√3). Rozwiązanie to potwierdza symetrię układu względem prostej x = 2. Zadanie to doskonale pokazuje, jak metody algebry pomagają rozwiązywać problemy geometryczne, co jest istotą geometrii analitycznej.