Zadania z dziedziny i zbioru wartości funkcji – interaktywne ćwiczenia
Wyznaczanie dziedziny i zbioru wartości funkcji to podstawowe umiejętności, które są regularnie sprawdzane na maturze z matematyki. W tym zbiorze zadań znajdziesz praktyczne ćwiczenia o różnym stopniu trudności, które pomogą Ci opanować te zagadnienia. Każde zadanie zawiera interaktywne rozwiązanie, które możesz odkryć klikając odpowiedni przycisk.
Aby lepiej zrozumieć teoretyczne podstawy dotyczące dziedziny i zbioru wartości funkcji, zachęcamy do zapoznania się z naszym artykułem: Dziedzina i zbiór wartości funkcji – metody wyznaczania krok po kroku.
Wyznaczanie dziedziny funkcji
Poniższe zadania skupiają się na podstawowych metodach wyznaczania dziedziny funkcji, które opierają się na analizie operacji matematycznych występujących w definicji funkcji. Właściwe określenie dziedziny jest fundamentem dla dalszej analizy własności funkcji i stanowi podstawę rozwiązywania bardziej zaawansowanych zagadnień matematycznych.
Zadanie 1: Dziedzina funkcji wymiernej
Wyznacz dziedzinę funkcji \(f(x) = \frac{x^2 – 4}{x^2 – 9}\).
Pokaż rozwiązanie
Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji wymiernej, musimy znaleźć wartości, dla których mianownik jest różny od zera.
Mianownik funkcji \(f(x)\) wynosi \(x^2 – 9\). Musimy zatem rozwiązać równanie:
\[x^2 – 9 = 0\]
Rozwiązując to równanie:
\[x^2 = 9\]
\[x = \pm 3\]
Zatem mianownik jest równy zero dla \(x = -3\) oraz \(x = 3\).
Odpowiedź: Dziedzina funkcji \(f\) to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem wartości \(-3\) i \(3\):
\[D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\} = (-\infty, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, +\infty)\]
Zadanie 2: Dziedzina funkcji z pierwiastkiem
Wyznacz dziedzinę funkcji \(f(x) = \sqrt{4 – x^2}\).
Pokaż rozwiązanie
Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji z pierwiastkiem stopnia parzystego (w tym przypadku kwadratowym), musimy pamiętać, że wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne.
Zatem musimy znaleźć wartości \(x\), dla których:
\[4 – x^2 \geq 0\]
Przekształcając tę nierówność:
\[x^2 \leq 4\]
\[-2 \leq x \leq 2\]
Odpowiedź: Zatem dziedzina funkcji \(f\) to przedział \([-2, 2]\):
\[D_f = \{x \in \mathbb{R}: -2 \leq x \leq 2\} = [-2, 2]\]
Geometrycznie, wyrażenie pod pierwiastkiem \(4 – x^2\) reprezentuje odległość punktu \((x, 0)\) od okręgu o środku w początku układu współrzędnych i promieniu 2. Dziedzina funkcji to zbiór punktów leżących wewnątrz tego okręgu lub na nim.
Zadanie 3: Dziedzina funkcji z logarytmem
Wyznacz dziedzinę funkcji \(f(x) = \log_2(x^2 – 5x + 6)\).
Pokaż rozwiązanie
Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji logarytmicznej, musimy pamiętać, że argument logarytmu musi być dodatni.
Zatem musimy znaleźć wartości \(x\), dla których:
\[x^2 – 5x + 6 > 0\]
Rozłóżmy wyrażenie \(x^2 – 5x + 6\) na czynniki:
\[x^2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)\]
Teraz rozwiązujemy nierówność:
\[(x – 2)(x – 3) > 0\]
Nierówność jest spełniona, gdy oba czynniki mają ten sam znak:
\[x > 3 \text{ lub } x < 2\]
Odpowiedź: Zatem dziedzina funkcji \(f\) to:
\[D_f = (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)\]
Wyznaczanie zbioru wartości funkcji
W tej części zajmiemy się zadaniami dotyczącymi zbioru wartości funkcji, które wymagają głębszego zrozumienia właściwości funkcji i często bardziej zaawansowanych technik matematycznych. Określenie zbioru wartości funkcji pozwala na pełne zrozumienie jej zachowania i jest kluczowe w analizie matematycznej.
Zadanie 4: Zbiór wartości funkcji kwadratowej
Wyznacz zbiór wartości funkcji \(f(x) = -2x^2 + 4x + 3\).
Pokaż rozwiązanie
Aby wyznaczyć zbiór wartości funkcji kwadratowej, przekształcamy ją do postaci kanonicznej:
\[f(x) = -2x^2 + 4x + 3\]
\[f(x) = -2(x^2 – 2x) + 3\]
\[f(x) = -2(x^2 – 2x + 1 – 1) + 3\]
\[f(x) = -2(x – 1)^2 + 2 + 3\]
\[f(x) = -2(x – 1)^2 + 5\]
Z postaci kanonicznej widzimy, że funkcja osiąga maksimum dla \(x = 1\), a wartość tego maksimum wynosi \(f(1) = 5\).
Ponieważ współczynnik przy \(x^2\) jest ujemny (\(-2\)), funkcja nie ma dolnego ograniczenia. Gdy \(|x| \to \infty\), wartość funkcji \(f(x) \to -\infty\).
Odpowiedź: Zatem zbiór wartości funkcji \(f\) to:
\[Z_f = (-\infty, 5]\]
Zadanie 5: Zbiór wartości funkcji z wartością bezwzględną
Wyznacz zbiór wartości funkcji \(f(x) = |x – 2| + 3\).
Pokaż rozwiązanie
Funkcja \(f(x) = |x – 2| + 3\) składa się z wartości bezwzględnej wyrażenia \(x – 2\) przesuniętej o 3 jednostki w górę.
Wiemy, że wartość bezwzględna dowolnego wyrażenia jest zawsze nieujemna, czyli \(|x – 2| \geq 0\) dla dowolnego \(x\).
Minimum wartości bezwzględnej \(|x – 2|\) wynosi 0 i jest osiągane dla \(x = 2\).
Zatem minimum funkcji \(f\) wynosi \(f(2) = |2 – 2| + 3 = 0 + 3 = 3\).
Wartość bezwzględna \(|x – 2|\) może być dowolnie duża, gdy \(|x| \to \infty\), więc funkcja \(f\) nie ma górnego ograniczenia.
Odpowiedź: Zatem zbiór wartości funkcji \(f\) to:
\[Z_f = [3, +\infty)\]
Zadanie 6: Zbiór wartości funkcji wymiernej
Wyznacz zbiór wartości funkcji \(f(x) = \frac{x}{x+1}\) dla \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}\).
Pokaż rozwiązanie
Aby wyznaczyć zbiór wartości funkcji wymiernej, przekształcimy równanie \(y = f(x)\) tak, aby wyrazić \(x\) poprzez \(y\).
Mamy: \(y = \frac{x}{x+1}\)
Pomnóżmy obie strony przez \(x+1\) (zakładając, że \(x \neq -1\)):
\[y(x+1) = x\]
\[yx + y = x\]
\[yx – x = -y\]
\[x(y – 1) = -y\]
Jeśli \(y \neq 1\), to możemy podzielić obie strony przez \(y – 1\):
\[x = \frac{-y}{y-1}\]
Ta relacja oznacza, że dla każdego \(y \neq 1\) możemy znaleźć wartość \(x\) taką, że \(f(x) = y\).
Sprawdźmy teraz, czy \(y = 1\) należy do zbioru wartości funkcji. Z oryginalnego równania, jeśli \(y = 1\), to:
\[1 = \frac{x}{x+1}\] \[x+1 = x\] \[1 = 0\]
Otrzymujemy sprzeczność, więc \(y = 1\) nie należy do zbioru wartości funkcji.
Odpowiedź: Zatem zbiór wartości funkcji \(f\) to:
\[Z_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)\]
Zadania mieszane
W tej części prezentujemy zadania, które wymagają wyznaczenia zarówno dziedziny, jak i zbioru wartości funkcji, często w kontekście interpretacji geometrycznej lub zastosowań praktycznych. Te ćwiczenia łączą różne techniki matematyczne i wymagają kompleksowego podejścia do analizy funkcji.
Zadanie 7: Funkcja z parametrem
Dla jakich wartości parametru \(a\) funkcja \(f(x) = \sqrt{ax + 2 – x^2}\) ma niepusty zbiór wartości? Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości tej funkcji dla \(a = 3\).
Pokaż rozwiązanie
Część 1: Dla jakich wartości parametru \(a\) funkcja ma niepusty zbiór wartości?
Funkcja ma niepusty zbiór wartości wtedy i tylko wtedy, gdy jej dziedzina jest niepusta. Ponieważ mamy do czynienia z pierwiastkiem kwadratowym, wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne:
\[ax + 2 – x^2 \geq 0\]
Przekształćmy to wyrażenie: \[-x^2 + ax + 2 \geq 0\]
Jest to nierówność kwadratowa z ujemnym współczynnikiem przy \(x^2\), więc jej rozwiązaniem jest przedział. Aby taki przedział istniał, wyróżnik trójmianu \(-x^2 + ax + 2\) musi być nieujemny:
\[\Delta = a^2 – 4 \cdot (-1) \cdot 2 = a^2 + 8 \geq 0\]
Ponieważ \(a^2 + 8 > 0\) dla dowolnego \(a\), funkcja ma niepusty zbiór wartości dla dowolnej wartości parametru \(a\).
Część 2: Dla \(a = 3\) funkcja przyjmuje postać \(f(x) = \sqrt{3x + 2 – x^2}\).
Dziedzina: \(3x + 2 – x^2 \geq 0\), czyli \(-x^2 + 3x + 2 \geq 0\)
Pierwiastki równania \(-x^2 + 3x + 2 = 0\): \(x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}\)
Dziedzina: \(D_f = \left[\frac{3 – \sqrt{17}}{2}, \frac{3 + \sqrt{17}}{2}\right]\)
Zbiór wartości: maksimum wyrażenia pod pierwiastkiem dla \(x = \frac{3}{2}\) wynosi \(\frac{17}{4}\)
Odpowiedź: \(Z_f = \left[0, \frac{\sqrt{17}}{2}\right]\)
Zadania zaawansowane
Ta sekcja zawiera bardziej wymagające zadania, które łączą różne koncepcje matematyczne i mogą stanowić wyzwanie nawet dla dobrze przygotowanych maturzystów. Rozwiązanie tych zadań wymaga nie tylko znajomości podstawowych technik, ale również umiejętności łączenia różnych metod i kreatywnego podejścia do problemów matematycznych.
Zadanie 8: Funkcja złożona
Dane są funkcje \(f(x) = x^2 – 2\) oraz \(g(x) = \sqrt{x + 3}\). Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji złożonej \(h(x) = g(f(x))\).
Pokaż rozwiązanie
Krok 1: Wyznaczmy wzór funkcji złożonej \(h(x) = g(f(x))\).
\[h(x) = g(f(x)) = g(x^2 – 2) = \sqrt{(x^2 – 2) + 3} = \sqrt{x^2 + 1}\]
Krok 2: Wyznaczmy dziedzinę funkcji \(h\).
Dziedzina funkcji \(f(x) = x^2 – 2\) to \(\mathbb{R}\).
Dziedzina funkcji \(g(x) = \sqrt{x + 3}\) to \([-3, +\infty)\).
Aby wartość \(f(x) = x^2 – 2\) należała do dziedziny \(g\), musi być spełniony warunek:
\[x^2 – 2 \geq -3\] \[x^2 \geq -1\]
Ponieważ \(x^2 \geq 0\) dla dowolnego \(x\), ten warunek jest zawsze spełniony.
Krok 3: Zbiór wartości funkcji \(h(x) = \sqrt{x^2 + 1}\):
Minimum funkcji osiągane dla \(x = 0\): \(h(0) = 1\)
Gdy \(|x| \to \infty\), wartość \(h(x) \to \infty\)
Odpowiedź: \(D_h = \mathbb{R}\), \(Z_h = [1, +\infty)\)
Funkcje trygonometryczne i ich właściwości
Funkcje trygonometryczne stanowią ważną grupę funkcji o specyficznych właściwościach periodycznych. Ich analiza wymaga znajomości podstawowych własności funkcji sinus, cosinus oraz ich transformacji, które często pojawiają się na egzaminie maturalnym.
Zadanie 9: Funkcja trygonometryczna
Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji \(f(x) = 2\sin(x) + 3\).
Pokaż rozwiązanie
Wyznaczanie dziedziny:
Funkcja sinus jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, więc dziedzina funkcji \(f(x) = 2\sin(x) + 3\) to również cały zbiór liczb rzeczywistych:
\[D_f = \mathbb{R}\]
Wyznaczanie zbioru wartości:
Wiemy, że sinus przyjmuje wartości z przedziału \([-1, 1]\).
Zatem \(2\sin(x)\) przyjmuje wartości z przedziału \([-2, 2]\).
Po dodaniu 3, funkcja \(f(x) = 2\sin(x) + 3\) przyjmuje wartości z przedziału \([1, 5]\).
Odpowiedź: \(D_f = \mathbb{R}\), \(Z_f = [1, 5]\)
Funkcje określone przedziałami
Funkcje określone różnymi wzorami na różnych przedziałach wymagają szczegółowej analizy każdego fragmentu oraz umiejętnego łączenia wyników. Tego typu zadania często sprawdzają zdolność do systematycznego podejścia i dokładności w obliczeniach.
Zadanie 10: Funkcja określona przedziałami
Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji \(f\) określonej wzorem:
\[f(x) = \begin{cases}
|x + 1| & \text{dla } x < 0 \\
\sqrt{4 - x^2} & \text{dla } x \geq 0
\end{cases}\]
Pokaż rozwiązanie
Wyznaczanie dziedziny:
Dla \(x < 0\): funkcja \(|x + 1|\) jest określona dla wszystkich \(x < 0\)
Dla \(x \geq 0\): funkcja \(\sqrt{4 – x^2}\) wymaga \(4 – x^2 \geq 0\), czyli \(0 \leq x \leq 2\)
Dziedzina: \(D_f = (-\infty, 0) \cup [0, 2] = (-\infty, 2]\)
Wyznaczanie zbioru wartości:
Dla \(x < 0\): \(f(x) = |x + 1|\) przyjmuje wartości \([0, +\infty)\)
Dla \(x \geq 0\): \(f(x) = \sqrt{4 – x^2}\) przyjmuje wartości \([0, 2]\)
Łącząc oba przedziały: \(Z_f = [0, +\infty)\)
Odpowiedź: \(D_f = (-\infty, 2]\), \(Z_f = [0, +\infty)\)
Podsumowanie najważniejszych technik wyznaczania dziedziny i zbioru wartości
W tym zbiorze zadań przećwiczyliśmy różne metody wyznaczania dziedziny i zbioru wartości różnych typów funkcji. Najważniejsze techniki, które warto zapamiętać, to systematyczne podejście do analizy ograniczeń funkcji oraz umiejętne stosowanie właściwości algebraicznych i geometrycznych.
Podstawowe zasady obejmują:
- Dla dziedziny funkcji – analiza ograniczeń wynikających z operacji matematycznych (dzielenie przez zero, pierwiastkowanie liczb ujemnych, logarytmowanie liczb niedobatnich)
- Dla zbioru wartości funkcji kwadratowych – przekształcanie do postaci kanonicznej i identyfikacja wartości ekstremalnych na podstawie współczynnika kierunkowego
- Dla zbioru wartości funkcji wymiernych – przekształcanie równania \(y = f(x)\) w celu wyrażenia \(x\) poprzez \(y\) i analiza ograniczeń
- Dla funkcji z wartością bezwzględną – analizowanie funkcji w różnych przedziałach określonych przez zera wyrażenia pod wartością bezwzględną
- Dla funkcji określonych przedziałami – oddzielne badanie każdego przedziału i łączenie wyników z uwzględnieniem ciągłości funkcji
Pamiętaj, że przy rozwiązywaniu zadań maturalnych kluczowa jest dokładność i systematyczność w analizie ograniczeń i właściwości funkcji. Regularnie ćwicz różne typy zadań, aby nabrać wprawy w stosowaniu odpowiednich technik. Szczególną uwagę zwróć na prawidłowe stosowanie notacji matematycznej oraz dokładność w przeprowadzaniu obliczeń algebraicznych.
Aby pogłębić swoją wiedzę na temat funkcji i ich właściwości, zachęcamy do zapoznania się z naszymi pozostałymi artykułami z działu analizy matematycznej, które zawierają dodatkowe przykłady i szczegółowe omówienia zaawansowanych technik rozwiązywania zadań.